平面度误差评定的快速精确算法研究

　　1 引言

　　平面度误差是主要的形位误差指标之一。我国的相关标准规定,平面度误差的评定结果必须符合最小包容区域条件。然而,考虑到误差算法的计算时间等因素,目前在平面度误差评定中,大多采用最小二乘法、对角线平面法等[1]。关于平面度误差的最小包容区域评定,国内外已经提出了多种方法,如变换作图法、旋转变换法、变换计算法、极点计算法等[2]。但是,这些算法都涉及到非线性问题求解,收敛速度很慢,在计算机上不易实现或运算时间太长,难以满足实际测量需要。

　　判定测量结果是否满足最小包容区域条件,主要依据三角形准则和交叉准则。通常,对凸形或凹形表面采用三角形准则,对鞍形表面采用交叉准则。而这两个准则的核心是寻找/最高点0与/最低点0,这也是影响计算效率的关键。遗传算法[3]是一种高效的全局优化数值计算方法,其变量初始寻优范围的大小对于寻优速度和寻优结果有很大影响。最小二乘法是一种简单、方便的计算方法,但计算的精确性较差。据此,本文采用最小二乘法的计算结果,来确定遗传算法初始平面方程系数的变化范围。考虑到遗传算法具有很好的寻优能力,因此利用其理想平面的计算结果,来确定应用三角形准则和交叉准则所需的/最高点0与/最低点0,然后进行最小包容区域法的误差评定。考虑到计算效率问题,通过遗传算法计算得到的理想平面,并不一定能保证寻找到/最高点0与/最低点0,因此,需要检验每个测量点是否位于由这些/最高点0与/最低点0所确定的最小包容区域之内。如果发现某些测量点位于最小包容区域之外,则可将基于遗传算法的平面度误差评定结果作为最后计算结果。因此,本文提出的平面度误差评定算法是一种兼顾了计算速度与计算精度的优化算法。

　　2 平面度误差评定算法

　　本文提出的平面度误差评定算法,主要是将最小二乘法的计算结果用于确定遗传算法评定平面度误差时变量的初始范围,并以遗传算法搜寻的理想平面为基准,确定应用三角形准则和交叉准则所需要的/最高点0与/最低点0,避免旋转变换等寻找基准平面的复杂过程,从而得到理想的平面度误差值。需要指出的是,通过遗传算法得到的平面虽然很接近于理想平面,但若以此平面为基准,并不能保证一定能找到最小包容区域。但是,即使以遗传算法所得的平面度误差作为最终平面度误差,该误差也优于最小二乘法的评定结果,且非常接近于最小包容区域法评定的误差值。以下给出具体的算法。

　　设被测平面上任一点的坐标值为Mi(xi,yi,zi),理想平面的方程为:Z=Ax+By+C。根据最小二乘法的基本思想[4],由测量点拟合的理想平面应使测量点到该平面坐标值的平方和最小。故有目标函数为