混杂边界轴向运动Timoshenko梁固有频率数值解

　　军事、航空航天以及机械电子工程等研究、制造及生产领域的多种工程元件都可简化为轴向运动连续体模型，比如空中缆车索道、传输带、升降机缆绳等。由于振动因素可能导致这些运输传送装置的效率降低或者造成噪声危害等。因此，轴向运动连续体广受研究者关注[1 -10]。

　　Euler 梁模型是轴向运动体系的一种有效的简化经典模型。z[1]、冯志华[2]、陈树辉[2]、张伟[4]Ding等[7]分别利用 Euler 模型研究了轴向运动梁固有频率、内共振以及静平衡等问题。随着研究的深入，近几年，考虑了更多因素的 Timoshenko 模型逐渐受到众多研究者的关注。Chen 等[8]给出了简支边界的 Timoshenko梁模型固有频率的复模态分析方法及半解析半数值求法。Ghayesh 和 Balar[9]通过半解析半数值方法研究了固定边界的轴向运动 Timoshenko 梁模型的横向振动固有频率。李等[10]通过半解析半数值方法求解了两端非对称混杂边界的轴向运动 Timoshenko 梁的固有频率。

　　以上分析可见，Timoshenko 梁模型的固有频率求法主要局限于复模态分析结合半解析半数值的求法。该方法的优点在于，在计算固有频率的同时还可以计算模态函数，但是计算过程中的特征函数过于复杂。目前，还没有得到其他方法的验证。

　　Chen 等[7]运用微分求积方法研究了轴向运动 Eul-er 梁模型的非线性参数振动，证明微分求积法可用于分析常见边界的轴向运动连续体的横向振动。两端非对称混杂边界是更一般化的边界，一定条件下可以退化为各种常见边界条件，其中包括两端简支、两端固定，以及一端简支一端固定等[10]。本文将引入微分求积方法研究轴向运动 Timoshenko 梁的横向振动，该方法能够根据常规的矩阵运算，快捷精确的计算系统前几阶固有频率。通过该方法处理更一般的混杂边界，仿真固有频率随系统参数的变化，并与半解析半数值结果[10]比较，验证系统参数对 Timoshenko 梁模型固有频率的影响。

　　1 微分求积法及应用

　　研究在平面内作横向振动的Timoshenko 模型轴向运动梁，考虑截面积为A、绕横截面中性轴的转动惯量为 J、密度为ρ、初始张力为 P 的梁以一致的速度沿轴向运动，其速度为常数γ，梁弹性模量为E，剪切模量为G。只考虑梁的横向和径向变形，在径向空间坐标 x处，t 时刻横向位移为v( x，t) ，假设其长度为l，建立轴向运动 Timoshenko 梁的横向自由振动的无量纲式控制方程[8，10]，利用微分求积法解此运动方程:

式中逗号后的 x 和 t 分别表示对 x 和 t 的偏微分，相应的无量纲化变量和参数为[8]:

其中，c 为速度，k 为形状系数，k₁和k₂为剪切模量，k₃为转角，k_f为弯曲刚度。取梁两端带有扭转弹簧铰支的无量纲化约束边界条件[10]